Anunturi

---

Curs

---

Seminar

---

Laborator

---

Proiect de Dizertatie

---

Teoria Numerelor, Algebra Abstracta, Statistica si Teoria Informatiei

---

• i)(reflexivitate) a ≡ a (mod n);
• ii)(simetrie) daca a ≡ b (mod n) atunci b ≡ a (mod n);
• iii)(tranzitivitate) daca a ≡ b (mod n) si b ≡ c (mod n), atunci a ≡ c (mod n);
• iv) $daca\; a\; \equiv a_1(mod\; n)\; si\; b\; \equiv \; b_1(mod\; n),\; atunci\; a\; +\; b\; \equiv a_1+b_1(mod\; n)\; si\; ab\; \equiv a_1{b}_1(mod\; n)$

Proprietati ale aritmeticii modulare(I): daca a = b mod n si c = d mod n, atunci:

• a+c = b+d mod n
• a-c = b-d mod n
• a*c = b*d mod n
• $a^k = b^{k}mod\; n\; ,\; (k\; >\; 0)$
• k*a = k*b mod n
• a/k = b/k mod n/k , daca k divide a,b,n

Proprietati ale aritmeticii modulare(II) fie numerele intregi x, y, n ≠ 0 cu c.m.m.d.c(y, n) = 1 atunci:

• i) (x + y) mod n = [(x mod n) + (y mod n)] mod n
• ii) (-x) mod n = (n - x) mod n = n - (x mod n)
• iii) xy mod n = [(x mod n)(y mod n)] mod n
• iv) inversul lui y fata de operatia de multiplicare, notat $y^{\mathrm{-1}}(mod\; n)\; este\; un\; intreg\; in\; [1,\; n-1]\; astfel\; incat\; y{y}^{\mathrm{-1}}(mod\; n)\; =\; 1.$

Teorema chineza a resturilor (CRT): daca intregii $n_1,n_2,...,n_{k}sunt\; relativ\; primi\; 2\; cate\; 2,\; atunci\; sistemul\; de\; congruente:$

$\{\begin{array}{l}x\equiv a_{1}mod n_1\\ x\equiv a_{2}mod n_2\\ ...\\ x\equiv a_{k}mod n_k\end{array}$    are solutie x unica calculata modulo n= $n_1*n_2*...*n_k.$
NOTA: determinarea solutiei unice se efectueaza cu ajutorul algoritmului lui Gauss.

Def:se numeste grup multiplicativ peste $Z_n,\; si\; se\; noteaza:Z_n^{*}=\; \{\; a\; \in Z_n|\; c.m.m.d.c(a,\; n)\; =\; 1\}$

Def: pentru n ∈ N si n ≥ 1, functia Euler, notata φ(n), reprezinta numarul de intregi k cu 0 ≤ k < n si c.m.m.d.c(k, n) = 1.
Daca φ(n) este functia Euler, atunci:

Def: Daca exista un element α ∈ G-grup ciclic, astfel incat ∀ b ∈ G, ∃ i ∈ Z astfel incat b = ${\alpha }^i$ mod p atunci α se mai numeste generator (radacina primitiva) al grupului.

Def: ordinul unui grup este definit de numarul de elemente ale grupului.

Def: ordinul unui element a ∈ G-grup, este definit de cel mai mic intreg, pozitiv t astfel incat $a^t=\; 1.\; Daca\; nu\; exista\; atunci\; ord(a)=\infty .$

Teorema lui Fermat daca p - prim, atunci $a^{\mathrm{p-1}}\equiv \; 1\; (mod\; p).$
NOTA: se mai numeste mica teorema a lui Fermat

Teorema lui Euler daca a ∈ $Z_n^{*},\; atunci a^{\mathrm{\phi (n)}}\equiv \; 1\; (mod\; n).$

Omomorfism de grup
Fie doua grupuri (G, +) si (H, #). O functie f(.) : G → H este omomorfica daca: ∀ a,b ∈ G, f(a+b) = f(a)#f(b)
Daca exista o functie omomorfica, atunci G si H au aceasi structura.

Izomorfism de grup
Daca functia f(.) este omomorfica si bijectiva atunci este izomorfica.
Daca exista o functie izomorfica, atunci G si H sunt echivalente (nu egale).

Paradoxul "Birthday"
Fie o functie surjectiva oarecare f : X → Y, unde |Y| = n elemente si o constanta 0 < ε < 1, se cere sa se determine un numar k, astfel incat daca sunt selectate k valori distincte $x_1, x_2,\; ..., x_k$ ∈ X, Prob[f( $x_i$ ) = f( $x_j$ )] ≥ ε, cu i ≠ j. S-a constatat (si demonstrat) chiar in cazul in care ε este mare (foarte aproape de 1), k ramane proportional cu   $\sqrt{n}$. In general, pentru a determina o coliziune cu probabilitatea de aprox 0.5 sunt necesare $1.1774*\sqrt{n}$ incercari.
De exemplu, intr-o clasa cu 23 de studenti, probabilitatea ca doi dintre ei sa aiba aceasi zi de nastere (din cele 365 ale unui an) este aproximativ 0.5. Daca sunt 30 de studenti probabilitatea creste la aproximativ 0.7 (de unde si denumirea).
Aplicatii ale paradoxului Birthday: atacul Birthday (tot din categoria FB) pentru determinarea coliziunilor unei functii hash, evaluarea proprietatii de difuzie a unei functii hash (o fct. hash ideala asociaza in mod echiprobabil oricare dintre valorile posibile de iesire atunci cand valorile de intrare sunt alese dupa o distributie uniform aleatoare);

Legea numerelor mari
Fie $X_1,X_2,\; ...,X_n$ o secventa de variabile aleatoare i.i.d cu valoarea asteptata $E(X_1)\; =\; E(X_2)\; =\; ...\; =\; E(X_n)\; =\; \mu .$ Media aritmetica a unui esantion (en. sample) dintre variabile converge catre μ atunci cand dimensiunea esantionului n → ∞

Problema celor 2 maestri sahisti:
Un sahist amator angajat simultan in doua jocuri cu 2 maestri diferiti, ce joaca cu negru intr-un joc, respectiv cu alb in celalalt si copiaza miscarile maestrilor in celalalt joc, va avea urmatoarele rezultate: fie remiza in ambele jocuri, fie un castig si o pierdere in cele doua jocuri.

picoManual de Scapy (cheatsheet)

---

Util de memorat

Obiecte Scapy

N.b. pentru fiecare antet TCP/IP a fost definita o clasa;de ex. Ether(), ARP(), IP(), ICMP(), UDP(), TCP(), s.a.;

N.b. cu operatorul "/" putem construi o "ruta" in stiva TCP/IP;

Functii de transmisie/receptionare

Functia pt. captura de trafic

Suport pentru implementarea automatelor

Alte functii

... si parasirea interpretorului scapy cu comanda